Куадрус получил юридическое образование. Политическую карьеру начал в 1950 году, став членом муниципалитета города Сан-Паулу.
К 1954 году Куадрус дослужился до губернатора одноимённого штата и оставался на этом посту до 1958 года. Позже был депутатом Конгресса Бразилии.
Куадрус вступил в должность президента Бразилии 31 января 1961 года.
Во внешней политике Куадрус занял более независимую от США позицию, в частности восстановил дипломатические отношения с СССР и другими социалистическими странами, разорванные в октябре 1947 года. В частности, Куадрусом был поддержан режим Фиделя Кастро на Кубе, а революционер Че Гевара был награждён высшим знаком отличия Бразилии, Орденом Южного Креста.
Такая политика нового президента не понравилась ни США, ни финансовой элите, ни военной верхушке Бразилии. В стране начался очередной политический кризис. 24 августа 1961 года по национальному телевидению страны выступил Карлус Ласерда, губернатор штата Гуанабара, который заявил, что в Бразилии готовится государственный переворот, а президент уже не имеет реальной власти. На следующий день было обнародовано письмо Куадруса, адресованное парламенту, в котором он снял с себя полномочия президента.
В это время вице-президент, Жуан Гуларт, совершал официальный визит в Китай и не мог занять президентское кресло, поэтому верховную власть в стране временно принял спикер Палаты депутатов Раньери Мадзилли.
Среди первоочередных мер Куадруса на посту президента были и весьма курьёзные, к примеру, запрет на ношение бикини на пляжах.
В честь Куадруса назван муниципалитет Президенти-Жаниу-Куадрус в штате Баия.