Йозеф Страка начал свою профессиональную карьеру в 1995 году в составе родного клуба чешской Экстралиги «Литвинов», успешно выступая до этого за его фарм-клуб. В своём дебютном сезоне Йозеф провёл на площадке 48 матчей, в которых он набрал 15 (8+7) очков, завоевав вместе с клубом серебряные медали чешского первенства. В том же году на драфте Канадской хоккейной лиги он был выбран в 1 раунде под общим 35 номером клубом «Келоуна Рокетс», а уже в следующем году на драфте НХЛ Страка был выбран в 5 раунде под общим 122 номером клубом «Калгари Флеймз».
Тем не менее, Йозеф принял решение продолжить свои выступления в Европе, сумев закрепиться в основном составе «Литвинова», и набрав 30 (14+16) очков в 52 проведённых матчах. В последующие годы результативность Страки слегка снизилась, а уже в середине сезона 1999/00 он перешёл в состав клуба «Пльзень», с которым сразу же стал бронзовым призёром Экстралиги.
В последующие сезоны Йозеф неизменно становился одним из лучших бомбардиров чешского чемпионата; всего же в составе «Пльзеня» он провёл 291 матч, в котором он набрал 223 (99+124) очка. В середине сезона 2004/05 Страка подписал контракт с пражской «Спартой», однако, проведя в её составе лишь 6 матчей, он покинул клуб и стал игроком команды «Зноймешти Орли». Тем не менее, и в новом клубе Йозефу закрепиться не удалось, поэтому сезон он заканчивал в Австрийской лиге в составе команды «Блэк Уингз».
Перед началом сезона 2005/06 Страка принял решение вернуться в «Пльзень», однако уже спустя 13 игр он вновь стал игроком «Спарты», с которой впервые в своей карьере стал чемпионом страны, в 55 проведённых матчах отметившись 37 (13+24) набранными очками. Перед стартом сезона 2006/07 Йозеф заключил соглашение с клубом финской СМ-Лиги «Лукко», в составе которого сумел показать отличную игру, лишь немного не дотянув до звания лучшего бомбардира первенства, записав на свой счёт 63 (26+37) результативных балла в 59 матчах.
Сразу после окончания успешного сезона Страка, несмотря на многочисленные предложения от европейских клубов, подписал двухлетний контракт с череповецкой «Северсталью». В своём первом же сезоне в России Йозеф набрал 35 (15+20) очков в 63 матчах, а на следующий год вместе с командой дебютировал в Континентальной хоккейной лиге, записав на свой счёт 26 (12+14) баллов в 50 играх.
Перед началом сезона 2009/10 Страка подписал новое однолетнее соглашение с череповецким клубом, после чего вновь стал одним из лучших бомбардиров череповчан, набрав 43 (21+22) очка в 53 проведённых матчах. После окончания сезона Йозеф снова принял решение на год продлить своё соглашение с «Северсталью», став после этого самым результативным игроком клуба с 43 (20+23) очками в 58 играх.
К лету 2011 года Страка уже сумел стать самым результативным легионером в истории череповецкого хоккея, также несколько раз становясь одним из лучших игроков сезона по мнению болельщиков «Северстали». 20 апреля 2011 года Йозеф заключил с череповчанами новое однолетнее соглашение. Тем не менее, во время предсезонной подготовки у Страки обнаружились проблемы со здоровьем, из-за которых ему пришлось довольно долго восстанавливаться. Однако, вернувшись на лёд, Йозеф, несмотря на уменьшенное игровое время, продолжил исправно набирать очки.
15 января 2012 года было объявлено об обмене Страки в казанский «Ак Барс» на выбор в 4 раунде драфта-2012.
В составе сборной Чехии Йозеф Страка принимал участие в юниорских чемпионатах Европы 1995 и 1996 годов, оба раза вместе с командой став четвёртым, а также молодёжных чемпионатах мира 1996 и 1998 годов, на которых чехи становились четвёртыми. На этих турнирах Йозеф провёл 23 матча, набрав 20 (7+13) очков. Также Страка часто призывался под знамёна главной сборной для участия в этапах Еврохоккейтура.