Йорг Хайнрих начал свою карьеру в любительских клубах ГДР. На профессиональном уровне он дебютировал в 1994 году в составе «Фрайбурга», сразу став одним из лидеров команды, Хайнрих вскоре перешёл в сильнейший на то время немецкий клуб дортмундскую «Боруссию». В составе «Боруссии» прошли лучшие годы Хайнриха, вместе с ней он дважды становился чемпиом Германии, побеждал в Лиге чемпионов и Межконтинентальном кубке. После «Боруссии» карьера Хайнриха практически закончилась, проведя ещё один сезон в «Кёльне», затем он играл за любительские и ветеранские команды.
В составе национальной сборной Йорг Хайнрих дебютировал 21 июня 1995 года в матче со сборной Италии. Всего, в период с 1995-ого по 2002-ой годы он провел 37 матчей за сборную и забил 2 гола. Хайнрих был в составе немецкой команды на чемпионате мира-1998 и Кубке конфедераций - 1999.