Родился 13 октября 1888 года на хуторе Пуньки Глубокского района в бедной дворянской семье.
Учился в Виленской рисовальной школе (1906—1910) у профессора живописи И. Трутнева.
Служил в армии, работал учителем рисования в женской гимназии в г. Минске и как иллюстратор активно сотрудничал с журналами и газетами.
Не понятый современниками Язеп Дроздович умер 15 сентября 1954 года в крайней нужде.
В 1910-х гг. работает в книжной графике: «Белорусский календарь на 1910 год», «Курганная кветка» К. Буйло, «Школьны спеунiк» А. Гриневича, собственная книга «Вялiкая шышка, або Варьят без варьятства», иллюстрации к своей повести «Гарадольская пуща».
В конце 1910-начале 1920-х создал графическую серию памятников замковой архитектуры, воплотил образ белорусской природы в графических листах «Дисненщина», в тоновых рисунках из серии «Природа Белоруссии» (1940-е).
Среди живописных произведений (тематические картины, портреты, пейзажи) выделяются картины из жизни средневековой Полотчины, Скорининская серия (1940-е).
Автор скульптуры Ф. Скорины (1910-е), композиции «Плач Гориславы», портретов-барельефов матери и брата.
С 1920-х годов во время своих путешествий по Белоруссии Дроздович стал писать ковры.
Записывал народные песни, собирал и обрабатывал для словарей лексику народного языка.
В 1931 году издает популярную книгу по астрономии на белорусском языке «Небесные беги» и пишет графическую серию картин на космическую тему.
После войны, в 1949 году, Язеп Дроздович пытается безуспешно опубликовать свою монографию «Теория движения в космологическом значении».