Алексей Высоцкий родился в Киеве в образованной еврейской семье. Его отец — Вольф Шлиомович Высоцкий (1889, Брест-Литовск — 1962, Москва; «Вэлвл» в одной из ранних песен его внука Владимира Высоцкого) — из семьи стеклодува, учился в Люблинском коммерческом училище, с 1911 года жил в Киеве, где учился в Киевском коммерческом институте одновременно с И. Э. Бабелем и Соломоном Михоэлсом, затем на юридическом факультете Киевского университета; в годы НЭПа организовал кустарную мастерскую по производству театрального грима и адвокатскую контору. Мать — Дора Овсеевна Высоцкая (урождённая Бронштейн; 1891, Житомир — 1970, Киев) — дочь преподавателя казённого еврейского училища, закончила фельдшерско-акушерские курсы, в то время работала фармацевтом, затем косметологом.
В 1926 году семья поселилась в Москве; после развода родителей Алексей Высоцкий жил в Москве с отцом и с начала 1930-х годов в Киеве с матерью. В школьные годы дружил с Гулей Королёвой и её будущим мужем Алёшей Пятаковым (сыном расстрелянного в 1937 году Г. Л. Пятакова), впоследствии его воспоминания вошли в книгу Елены Ильиной (Л. Я. Прайс) «Четвёртая высота».
С 1939 года учился в Подольском артиллерийском училище, в том же году был призван в армию и в качестве командира огневого взвода 165-го гаубичного артиллерийского полка принимал участие в боевых действиях советско-финской войны, а с 1941 года, после окончания училища, — Великой Отечественной войны.
В составе 18-го гвардейского артиллерийского полка участвовал в обороне Одессы, Керчи и Севастополя, военных действиях на Дону и Северном Кавказе. Командовал артбатареей 265-го корпусного артиллерийского полка 3-го Украинского фронта, с осени 1943 года — подполковник, начальник штаба 124-ой гаубичной артиллерийской бригады большой мощности 20-й артиллерийской дивизии резерва Верховного Главнокомандования (затем 6-й артиллерийской дивизии прорыва РВГК 1-го Белорусского фронта), освобождал Украину и Польшу, дошёл до Берлина. В военные годы печатал репортажи с фронта в газете «Красная звезда», некоторые очерки были опубликованы в «Известиях».
После окончания военных действий остался на сверхсрочной службе в Германии, с 1949 года служил начальником оперативного отдела в Гайсине, с 1951 года — в Мукачево, учился на филологическом факультете Ужгородского государственного университета. С 1956 года — в Москве, закончил заочно факультет журналистики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Демобилизован в 1959 году в звании полковника.
Алексей Высоцкий — автор четырёх книг документальной прозы на военную тематику, в том числе повестей «И пусть наступит утро» (о своём боевом командире, Герое Советского Союза артиллеристе Н. В. Богданове, обороне Одессы и Севастополя), «Дороги огненной земли» (о керченском десанте), «Горсть земли» (об обороне Одессы) и «Горный цветок» (о борьбе советских пограничников с бандеровцами в послевоенное время). Документальная трилогия А. В. Высоцкого «Весна в Берлине», включающая повести «И пусть наступит утро», «Дороги огненной земли» и «Весна в Берлине», была издана в 2010 году к 65-летию победы в Великой Отечественной войне под редакцией его дочери, Ирэны Высоцкой.
В 1962 году Алексей Высоцкий осуществил первые профессиональные магнитофонные записи своего племянника Владимира Высоцкого в Доме техники Министерства речного флота РСФСР, где он тогда работал, и у себя дома (так называемые записи «У дяди»). По мотивам очерка А. В. Высоцкого «Бриллиантовая двойка» о дважды Герое Советского Союза Н. М. Скоморохове (газета «Красная звезда», 1966) Владимиром Высоцким была написана «Песня о погибшем лётчике» (1975).
В организованной им студии документальных фильмов при Министерстве речного флота РСФСР А. В. Высоцким было снято несколько короткометражных документальных фильмов и киноочерков об участниках Великой Отечественной войны, в том числе лётчиках Н. Н. Скоморохове и М. П. Девятаеве.
Умер в 1977 году, похоронен на Ваганьковском кладбище.
Сын — Александр Алексеевич Высоцкий, журналист, серебряный призёр чемпионата мира по академической гребле. Дочь — Ирэна Алексеевна Высоцкая, детский писатель.
Брат - Высоцкий, Семён Владимирович (1916—1997) — военнослужащий, полковник, участник Великой Отечественной войны, отец Владимира Семёновича Высоцкого; Военная специальность — связист; Почётный гражданин городов Кладно и Праги
Дядя по отцовской линии — Леон Соломонович (Лейбиш Шлиомович) Высоцкий (1886—1974), видный киевский инженер-химик и изобретатель, основатель киевского завода «Химэфир» на Куренёвке. Его приёмная дочь (двоюродная сестра А. В. Высоцкого) — Людмила Леоновна Высоцкая, чемпионка СССР и заслуженный тренер Украины по баскетболу.
Двоюродный брат (по материнской линии) — известный музыкальный администратор (импресарио) и поэт-песенник Павел Леонидович Леонидов.
Племянник — Владимир Семёнович Высоцкий, поэт, автор-исполнитель песен, актёр театра и кино. На стене дома четы Алексея и Александры Высоцких по улице Энгельса № 11 (в прошлом ул. Гурвича № 7) в Гайсине 25 января 2008 года была вывешена мемориальная табличка в память посещения города Владимиром Высоцким в 1950-м году.
Отчим матери — Лев Григорьевич Левин, доктор медицинских наук; как лечащий врач ряда руководителей партии и правительства, а также А. М. Горького, расстрелян 15 марта 1938 года по обвинению в участии в международном правотроцкистском заговоре с целью устранения видных советских руководителей.