Участник Великой Отечественной войны Владимир Куц начал бегать в 1945 году будучи матросом Балтийского флота среди всего прочего на арендной территории Порккала-Удд, Финляндия. По-настоящему его спортивная карьера началась в 1951 году под руководством опытного тренера Леонида Хоменкова. Выступал за СКА и ЦДКА/ЦДСА.
В 1953 году Куц впервые завоёвывает звание чемпиона СССР. Чемпион Европы 1954 в беге на 5 000 м. Многократный рекордсмен мира в беге на 5 000 м и 10 000 м (1954—1957 годы). Десятикратный чемпион СССР.
В 1956 году на Олимпийских играх в Мельбурне 29-летний Владимир Куц выиграл обе стайерские дистанции.
Основным противником Куца на «десятке» был британский бегун Гордон Пири. Незадолго до Олимпиады Пири отобрал у Куца мировой рекорд в беге на 10 000 метров, причём тогда он обыграл Владимира рывком на самом финише. Куц учёл ошибки и тщательно подготовился к противостоянию с британцем. Во время бега на 10 000 метров Владимир предложил тактику «рваного бега», постоянно ускоряя и замедляя темп. В результате противник пришёл к финишу только восьмым и совершенно измотанным, а Куц финишировал первым с новым олимпийским рекордом 28 мин 45.6 сек. По легенде, Пири так вспоминал о том беге:
В беге на 5 000 метров Куц также победил с новым олимпийским рекордом — 13 мин 39.6 сек. На закрытии Олимпиады Владимиру Куцу выпала честь быть знаменосцем сборной СССР. Владимир Куц — первый олимпийский чемпион среди советских легкоатлетов. Награждён орденом Ленина, медалью «Ветеран труда» и другие медали.
Последний мировой рекорд Куца на 5000 метров — 13 мин 35.0 сек, установленный в 1957 году, продержался восемь лет.
Спортивная карьера Владимира Куца закончилась быстро, в 1959 году из-за серьёзных проблем со здоровьем он был вынужден покинуть дорожку и перейти на тренерскую работу. Известно, что Куц серьёзно страдал от последствий своей беговой карьеры, у него была обнаружена проницаемость капилляров, а в 1972 году он пережил инсульт. Болезни, в прошлом знаменитого спортсмена, усугублялись хроническим алкоголизмом.
Владимир Куц умер 16 августа 1975 года, предположительно покончив жизнь самоубийством, так как перед смертью принял повышенную дозу снотворного и запил лекарство водкой.
Похоронен на Преображенском кладбище Москвы.