Родился в семье инженера-строителя, с 1885 по 1891 обучался в Полтавском кадетском корпусе, Александровском военном училище, Михайловском артиллерийском училище. В 1891—1898 служил в войсках. В 1898 вернулся в Петербург для обучения в Николаевской инженерной академии, одновременно посещая классы архитектуры ИАХ; окончил Николаевскую академию в 1901 и был оставлен в преподавательском составе.
В 1905 публикует программную монографию «Рациональное в новейшей архитектуре» — крупнейшее исследование путей развития архитектуры в своём периоде. Многие теоретические положения Апышкова впоследствии вошли в основы советской архитектурной теории и её марксистско-ленинского «идейного обоснования». В 1909—1910 путешествует по городам русского Севера и Кавказа, собирает исторические материалы, впоследствии обобщенные в его курсе «Русского деревянного зодчества».
Как строитель-практик, в 1906—1907 построил петербургский особняк С. Н. Чаева (улица Рентгена, 9) — одного из лучших памятников петербургского северного модерна (в 1913, для того же Чаева Апышков выстроит и дачу на Каменном острове). В 1907 проектирует московский доходный дом М. А. Симоновой (Николопесковский переулок, 5) — редкий для Москвы памятник северного модерна.
В 1908—1913 строит два сохранившихся моста через Неву в СПБ — Мост Петра Великого и Финляндский мост (в соавторстве с Н. Л. Белелюбским, Г. Г. Кривошеиным, Л. Н. Бенуа и др.). Его проект Сампсониевского моста не был реализован. В 1912—1918 кадровый офицер Апышков проектирует и строит военные объекты и Институт Металлов в СПБ, завод в Пензе; по его петербургскому проекту строится 2-е Киевское инженерное училище.
В советское время Апышков вступил в РККА, продолжал преподавать в Военно-инженерной академии, с 1922 — декан академии. Автор учебников по военному строительству. В 1932, вместе с академией, переехал в Москву, где спроектировал классически-сталинский военный санаторий в Архангельском (1934—1937). Вышел в отставку по болезни в 1936, вернулся в Ленинград, где и умер. Похоронен на Большеохтинском кладбище.