Владимир Енгибарян впервые пришел в секцию бокса в 1946 году. Тренировался сначала под руководством Артема Арутюнова, потом Эдуарда Аристакесяна.
В 1951 году стал бронзовым призером чемпионата СССР в легчайшем весе. В 1952 году призывался на сборы олимпийской сборной СССР, но не поехал на Олимпийские игры в Хельсинки. В 1953 году на дебютном для советской команды чемпионате Европы в Варшаве, он первым из советских боксеров стал чемпионом Европы. В 1955 году впервые выиграл чемпионат СССР, а в 1956 году на Олимпийских играх в Мельбурне вторым из советских боксеров (после Владимира Сафронова) завоевал титул олимпийского чемпиона. В 1957 и 1959 годах он снова побеждал на чемпионатах Европы и ехал на Олимпийские игры в Риме явным фаворитом, но, получив травму плеча, проиграл в четвертьфинале польскому боксеру Мариану Каспшику. После этого принял решение завершить спортивную карьеру.
В дальнейшем занимался тренерской деятельностью в ереванской детско-юношеской школе бокса (ныне носящей его имя), стал судьей международной категории. В 70-х годах представлял СССР в судейской комиссии АИБА, выступал в качестве рефери на крупнейших международных соревнованиях.
С 1993 года живет в Лос-Анжелесе (Калифорния, США).