Владе Дивац начал заниматься баскетболом в клубе «Элан» из своего родного города Приеполе, затем перешёл в клуб «Слога» из города Кралево. С этой командой он в 16 лет подписал свой первый профессиональный контракт. Летом 1986 года он перешёл в один из ведущих клубов Югославии, белградский «Партизан». В том же году он дебютировал в составе национальной сборной Югославии на чемпионате мира, проходившем в Испании, где югославы уступили в овертайме полуфинального матча сборной СССР и в итоге заняли третье место.
В составе «Партизана» Дивац в 1987 году выиграл чемпионат Югославии, в 1988 году играл в полуфинале Евролиги, в 1989 году стал обладателем Кубка Югославии и Кубка Корача. Хотя он отыграл всего пять сезонов в европейских профессиональных клубах, в 2008 году Дивац был включён в почётный список 50 человек, оказавших наибольшее влияние на развитие Евролиги. В составе сборной Югославии, одной из сильнейших национальных команд конца 1980-х годов, он стал победителем баскетбольного турнира на летней Универсиаде и бронзовым призёром чемпионата Европы в 1987 году, серебряным призёром Олимпийских игр 1988 года, чемпионом Европы 1989 и 1991 годов, чемпионом мира 1990 года.
Успехи национальной сборной Югославии на международной арене заметило и руководство клубов Национальной баскетбольной ассоциации, которые стали выбирать на драфте европейских баскетболистов. Из двенадцати игроков олимпийской сборной Югославии 1988 года шестеро оказались в клубах НБА: Дражен Петрович («Портленд Трэйл Блэйзерс»), Тони Кукоч («Чикаго Буллз»), Жарко Паспаль («Сан-Антонио Спёрс»), Стойко Вранкович, Дино Раджа (оба — «Бостон Селтикс») и Владе Дивац. Дивац был выбран на драфте НБА 1989 года под 26-м номером командой «Лос-Анджелес Лейкерс», став первым иностранцем, задрафтованным этим клубом. В 1980-х «Лейкерс» были одной из сильнейших команд ассоциации, лидерами которой были Мэджик Джонсон, Карим Абдул-Джаббар и Джеймс Уорти, и пять раз выигрывали чемпионат НБА. Однако Дивац пришёл в команду как раз тогда, когда в ней начался спад. В 1989 году завершил карьеру Абдул-Джаббар, один из лучших центровых в истории баскетбола, и перед Дивацем стояла задача его заменить.
В своём дебютном сезоне Владе не был основным игроком «Лейкерс», однако принял участие во всех матчах регулярного сезона, выходя на замену, помогал команде, набирая очки и делая подборы, и по итогам сезона был удостоен включения в первую сборную новичков НБА. Со следующего сезона и до середины 1990-х Дивац был основным центровым «Лейкерс», популярной фигурой среди болельщиков, а после ухода из баскетбола Мэджика Джонсона стал лидером команды. Однако команда не показывала выдающихся результатов уровня 1980-х, в 1994 году даже не смогла выйти в плей-офф. В 1995 году в составе сборной Югославии Дивац в третий раз стал чемпионом Европы. В 1996 году руководство «Лейкерс» решило провести в команде масштабную реконструкцию, в результате которой из «Орландо Мэджик» был приглашён один из лучших центровых НБА тех лет, Шакил О’Нил, а Диваца отдали в «Шарлотт Хорнетс», получив взамен права на перспективного семнадцатилетнего новичка Коби Брайанта.
В 1996 году Дивац был основным центровым сборной Югославии на Олимпийских играх в Атланте, где югославы проиграли в финале сборной США, составленной из звёзд НБА. В составе «Шарлотт Хорнетс» Дивац отыграл два сезона, оба раза команда играла в плей-офф, но дальше оба раза бесславно вылетала. В 1998 году Владе стал свободным агентом. Из-за локаута в НБА сезон 1998/1999 он начал в составе белградского клуба «Црвена Звезда». После окончания локаута вернулся в США и подписал контракт с «Сакраменто Кингз». В том же году в составе «Кингз» появился соотечественник и партнёр Диваца по сборной, Предраг Стоякович, игравший на позиции лёгкого форварда, а также тяжёлый форвард Крис Уэббер. Эти три игрока подняли команду из Сакраменто, в 1990-е лишь один раз сумевшую выйти в плей-офф НБА, до уровня одного из сильнейших клубов ассоциации. При Диваце «Кингз» ни разу не оказывались вне зоны плей-офф, дважды выигрывали сложный Тихоокеанский дивизион, где традиционно первенствовали «Лос-Анджелес Лейкерс», в 2002 году играли против «Лейкерс» в финале Западной конференции и уступили им в упорной борьбе 4-3. В 2001 году Дивац в первый и последний раз в своей карьере принимал участие в Матче всех звёзд НБА. 31 марта 2009 года руководство «Кингз» отметило вклад Диваца в успехи команды и на торжественной церемонии закрепило за ним 21-й номер, под которым он выступал.
После окончания сезона 2003/2004 контракт Диваца с «Кингз» истёк и он стал свободным агентом. В 2004 году после поражения в финале НБА «Лос-Анджелес Лейкерс» покинули Карл Мэлоун, Гэри Пэйтон, Дерек Фишер и ведущий игрок команды последних 8 сезонов Шакил О’Нил, поэтому руководство команды пригласило сербского ветерана в качестве замены последнему. Однако в сезоне 2004/2005 из-за проблем со спиной Дивац смог принять участие лишь в 15 матчах, которые он начинал на скамейке запасных. После окончания сезона он объявил о завершении карьеры. Всего в НБА он провёл 16 сезонов, принял участие в 1134 матчах регулярного сезона, в которых набрал 13364 очка, сделал 9294 подборов, 3522 передачи и 1630 блокшотов.
После завершения карьеры игрока Дивац некоторые время оставался в «Лейкерс», выполняя функции европейского скаута клуба. В июле 2006 года Дивац принял предложения своего друга, известного сербского футболиста Предрага Миятовича, назначенного спортивным директором испанского футбольного клуба «Реал Мадрид», и вошёл в руководящий состав баскетбольной команды «Реала». Однако его роль в клубе была в основном символической, и целью этого назначения было повышение престижа клуба.
24 февраля 2009 года Дивац был избран председателем Олимпийского комитета Сербии. Он сменил Ивана Чурковича, снявшего свою кандидатуру в последний момент.
Владе Дивац и его жена Снежана имеют двух сыновей, Луку и Матию, а также приёмную дочь Петру, удочерённую ими после того, как её биологические родители были убиты снайперами из Армии освобождения Косова.