Хайнесен родился в 1900 году в фарерском городе Торсхавн. Его отец был фарерцем, а мать — датчанкой. В возрасте 21 года он выпустил свой первый сборник стихов, а в 1934 году вышел его первый роман — Bl?sende gry. Некоторые из его произведений были переведены на русский язык, в том числе романы «Чёрный котёл» (дат. Den sorte gryde), «Пропащие музыканты» (дат. De fortabte spillem?nd) и «Башня на краю света» (дат. T?rnet ved verdens ende). В 1965 году Хайнесен был удостоен литературной премии Северного Совета.
Свои произведения он писал в Торсхавне, который называл «пупом земли». Хайнесен всегда интересовался непознанным и неизведанным, но в то же время называл себя религиозным человеком в самом широком смысле этого слова. Его жизнь может быть охарактеризована как борьба с пораженчеством. Скончался он в 1991 году в возрасте 91 года.