Весёлкин Игорь Петрович родился 8 марта 1915 года в городе Раненбурге Рязанской губернии в семье железнодорожного служащего. В 1930 после семи классов средней школы поступил в Рязанский художественный техникум, который окончил в 1934 году. В 1936 был принят на живописный факультет Ленинградского института живописи, скульптуры и архитектуры. Занимался у Александра Деблера, Бориса Фогеля, Александра Сегала, Михаила Платунова.
В 1947 окончил институт по мастерской Михаила Бобышова. Дипломная работа — оформление спектакля «Кремлевские куранты» по одноименной пьесе Николая Погодина, отмеченная в том же году премией Художественного фонда СССР. В 1947 году Весёлкин был принят в аспирантуру при ЛИЖСА имени И. Е. Репина, в 1951 защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата искусствоведения.
Одновременно с 1947 года Весёлкин работал над оформлением спектаклей для ленинградских и московских театров: «У нас на земле» (О. Бергольц и П. Макогоненко, БДТ имени М. Горького, 1948 год), «Илья Головин» (С. Михалков, МХАТ имени М. Горького, 1949 год), «Мещане» (М. Горький, МХАТ имени М. Горького, 1950 год), «Дачники» (М. Горький, МХАТ имени М. Горького, 1951 год), «Родные поля» (Ленинградский театр оперы и балета имени С. Кирова, 1953 год).
С 1946 года Весёлкин участвовал в выставках, экспонируя свои работы вместе с произведениями ведущих мастеров изобразительного искусства Ленинграда. Наряду с оформлением театральных постановок писал портреты, пейзажи, натюрморты, жанровые композиции, натурные этюды. Работал в технике масляной и темперной живописи, акварели, карандашного рисунка. В 1947 году был принят в члены Ленинградского Союза художников.
Творческую манеру Игоря Веселкина — живописца отличает приверженность натурному письму, мастерское владение пленэром, искусная передача тональных отношений и световоздушной среды. Техника письма и фактура холста варьировались от тонкой акварельной живописи до корпусной кладки краски, их выбор определялся художником исходя из задач, ставившихся в конкретной работе. Среди произведений, созданных Весёлкиным в станковой живописи, картины «Портрет студента», «Мужской портрет» (обе 1951), «Огни новостроек» (1952), «Параходик на Оке» (1953), «Портрет художника Б. И. Калманова», «Обнаженный натурщик», «Пристань на Оке» (все 1955), «Друг», «Вид из окна», «После дождя», «Лунная ночь» (все 1956), «Портрет матери», «Карпаты. Гора Синюха», «Рыбы» (все 1958), «Под Рязанью», «Приокские поймы» (обе 1959), «Сергей Есенин» (1960), «Портрет Г. З. Левина», «Портрет В. М. Орешникова», «Огни новостроек» (все 1965), «У окна. Георгины» (1966), «Есенин с матерью», «В избе» (обе 1967), «На родине Есенина» (1971), «Портрет юриста Н. И. Марковой» (1972), «Великие планы», «Рязанская колхозница Е. И. Майорова» (обе 1975), «Подруги Ира и Света» (1976), «Пушкин в Михайловском» (1977), «Сергей Есенин» (1980) и другие.
С 1951 года начинается педагогическая работа Веселкина в Московском институте прикладного и декоративного искусства. В 1952 в связи с переводом института в Ленинград и его объединением с ЛВХПУ имени В. И. Мухиной Весёлкин также возвращается в Ленинград. Преподавал сначала в ЛВХПУ имени В. И. Мухиной, затем в Ленинградском институте живописи, скульптуры и архитектуры имени И. Е. Репиина, профессором которого был с 1989 года.
Весёлкин Игорь Петрович скончался в Санкт-Петербурге в 1997 году. Его произведения находятся в Государственном Русском музее, в музеях и частных собраниях в России, Германии, Великобритании, Франции и других странах.