Главный редактор «Российского онкологического журнала» (с 1995), член редколлегии журналов «Вопросы онкологии» и «Хирургия» (с 1989), «Врач» (с 2001).
В 1957 году поступил в 1-й Московский медицинский институт имени И. М. Сеченова. В 1963 году окончил институт и поступил в клиническую ординатуру при кафедре госпитальной хирургии того же института, а после её окончания — в аспирантуру. В 1967 году В. И. Чиссов защищает кандидатскую диссертацию «Эзофагоманометрия на грыжах пищеводного отверстия диафрагмы и дивертикулах пищевода».
В 1968 году занимает должность младшего, а затем старшего научного сотрудника в отделении хирургии пищевода и желудка Всесоюзного НИИ экспериментальной и клинической хирургии Минздрава СССР. Докторская диссертация «Повреждения и свищи пищевода» защищена в 1976 году.
В 1978 году переходит на работу в Московский научно-исследовательский онкологический институт (МНИОИ). С 1982 года по настоящее время — директор института.
С 1988 года является членом-корреспондентом АМН СССР, с 1994 года — академиком РАМН.
Разработал методики диагностики, хирургического и комбинированного лечения анатомически сложных локализаций опухолей с привлечением передовых лазерных технологий и технологий лучевой диагностики. Им доказана принципиальная возможность успешного хирургического лечения опухолей, поражающих основание черепа, черепно- челюстно-лицевую область и позвоночник (с сохранением жизненно важных структур и повышением радикальности удаления новообразования) путём предоперационного планирования на реальном прототипе, созданном по технологии лазерной стереолитографии. Впервые обнаружен факт взаимной зависимости онкологического и пластического компонентов, доказана перспективность лечения больных опухолями сложных анатомических локализаций.