Родился в семье инженера, выпускника Петербургского политехнического института, происходившего из семьи черниговского учителя. Его отец, благодаря своему таланту и целеустремленности дорос до должности старшего инженера Путиловской судостроительной верфи. Мать — детский врач. Из-за разрухи в годы Гражданской войны семья родителей вынуждена была уехать на Украину. Отец работал главным инженером завода «Большевик», затем «Ленинская кузница». В 1924—1930 учился в немецкой школе. После окончания школы работал электромонтером на заводе «Большевик» и одновременно учился на вечерних курсах иностранных языков. В течение двух лет прошел трехлетний курс немецкого и английского языка. В 1931 году поступил на вечернее отделение Киевского политехнического института, совмещая учебу с работой гида «Интуриста», а затем техника в конструкторском бюро завода «Ленинская кузница». В 1934—1935 работал гидом в киевском «Интуристе».
В 1938 году окончил Киевский политехнический институт по специальности "инженер-технолог" и был направлен на киевский завод «Арсенал» (завод Наркомата вооружения СССР № 393).
После этого был призван на срочную службу в Тихоокеанский флот. В штабе флота во Владивостоке вел занятия по иностранным языкам, был замечен руководством и в 1939 направлен в Москву. Некоторое время работал в качестве переводчика в занятой войсками Красной Армии Западной Украине.
В качестве переводчика закупочной комиссии по приобретению военных крейсеров от Наркомата внешней торговли СССР попал в Германию на заводы Круппа. Вскоре получил назначение в Наркомат иностранных дел СССР, где работал помощником В. М. Молотова, принимал участие в качестве переводчика в подготовке и подписании Пакта Молотова—Риббентропа. В 1940—1941 годах первый секретарь советского посольства в Берлине. Сразу после объявления войны с Германией 22 июня 1941 вернулся в Москву в Наркоминдел, где работал в центральном аппарате НКИД в ранге советника, помощником Молотова по советско-американским отношениям. Участвовал в переговорах Черчилля, Идена, а также Гопкинса, Гарримана со Сталиным и другими членами советского руководства. Пиком переводческой карьеры Бережкова стало участие в Тегеранской конференции в 1943.
Во время войны родители Бережкова не успели эвакуироваться из Киева и оставались в оккупации. Бережков ничего не знал об их судьбе. После освобождения Киева в ноябре 1943 он попытался их разыскать, но безуспешно. У органов НКВД возникли подозрения, что его родители эвакуировались вместе с отступающими немецкими войсками на Запад. В связи с этими обстоятельствами Бережков в начале 1945 был уволен из Наркомата иностранных дел СССР, но поскольку неопровержимых доказательств эмиграции его родителей не было и благодаря ходатайству Молотова, жизнь ему была сохранена.
С 1945 работал в журнале «Война и рабочий класс» (впоследствии популярный журнал «Новое время»), печатался под псевдонимом «Богданов». После смерти Сталина Бережков был реабилитирован, возвращен в МИД. В 1970-е гг. возглавлял редакцию журнала «США - экономика, политика, идеология». Вышедшая в 1971 его книга «Тегеран-43», в которой он первым рассказал много неизвестного из истории Тегеранской конференцыии, сразу же стала бестселлером. В 1979—1983 работал первым секретарем советского посольства в Вашингтоне. Одновременно читал лекции по истории международных отношений. Работал главным редактором журнала «Новое время», представителем Института США и Канады при советском посольстве в США. С 1992 г. работал в Монтерейском институте международных исследований в Калифорнии.
Похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.