В 1957 году вместе с московским «Локомотивом» выиграл Кубок СССР. В 1959 году «Локомотив» завоевал серебро — это высший успех клуба в истории чемпионатов СССР. В 1961—1962 годах Бубукин играл за ЦСКА, но игровую карьеру закончил всё-таки в «Локомотиве», в 1965 году.
Самым запоминающимся в жизни Бубукина стал 1960 год. Тогда состоялся Чемпионат Европы в Париже. Сборная СССР одержала, возможно, одну из самых блестящих своих побед, став первым в истории обладателем Кубка Европы. Бубукин участвовал в обеих играх. Всего за сборную он сыграл 11 матчей и забил 4 мяча.
В 1960-е годы вступил в КПСС.
После завершения карьеры Бубукин работал главным тренером таких советских команд, как «Локомотив» Москва, «Таврия» Симферополь, «Карпаты» Львов. Также в 1978 году Бубукин был главным тренером ЦСКА (Ханой) из Вьетнама.
С 1997 года тренировал футбольную команду правительства России «Росич».
В 1996—1999 гг. работал инспектором футбольных матчей.
В конце 1950-х годов Бубукин отправился вместе с «Локомотивом» в Индонезию, где был проведён ряд товарищеских матчей с разными местными командами. В одной из них он угодил тяжёлым, мокрым от ливня мячом в голову местному хрупкому футболисту, отчего тот сразу рухнул на газон. Изо рта у индонезийца пошла пена, после чего он был отправлен в больницу, где была зафиксирована его клиническая смерть, однако впоследствии он выжил. По всей стране быстро распространился слух о советском футболисте с «железной ногой», из-за чего каждый прохожий норовил его ущипнуть за неё, чтобы узнать, из чего она сделана. Позже в Индонезии появился целый бренд «Бубукин», под которым выпускались предметы гигиены: зубная паста, крем для бритья и шампунь.