В 1929—1936 годах учился в Московской консерватории у Николая Мясковского, занимался также в классе фортепиано Самуила Фейнберга. Ещё студентом написал, в частности, Драматическую сонату для фортепиано (1930), кантату «В путь» для солиста, оркестра и хора (1932, слова Эс-Хабиб-Вафа), симфонию, 2 квинтета и трио (1933), две тетради прелюдий (1935—1936).
С 1935 года произведения Бирюкова звучали на концертных площадках Москвы. В 1939—1941 годах преподавал композицию в музыкальной школе при Московской консерватории.
Более чем к 40 спектаклям Ю. С. Бирюков написал «великолепные, разные по жанру и красивые мелодии, которые захватывали дух у людей, пришедших на спектакль».
Создал музыку к операм, опереттам, балетам:
Помимо этого была написана музыка к художественным фильмам:
Впервые выступил в кино «Союзмультфильм» в 1942 году («Лиса, заяц и петух», режиссер Ольга Хадатаева, художественный постановщик П.Носов) и «Теремок» (1945). Работал также в области документального кино «Слава тебе, комсомол», 1960.
Также композитором были написаны романсы и песни на тексты Лермонтова:
Некоторые из этих романсов изданы в сборнике Бирюкова «Романсы» (Москва, 1974), другие известны только в концертном исполнении.