Воспитанник ростовского спортинтерната. Карьера Ковтуна началась в малоизвестном российском клубе «Луч» из Азова в 1988 году. Год спустя Юрий переходит как профессиональный игрок в ростовский СКА, а ещё 2 года спустя — в «Ростсельмаш». В 1992 году Ковтун помогает «Ростсельмашу» занять высокое 8-е место в первом российском чемпионате. Сам Ковтун проводит хороший сезон, чем вызывает внимание двух столичных команд — «Динамо» и «Спартака».
В 1993 выбор Ковтуна пал на московское «Динамо», где он в течение многих лет был ключевым игроком команды.
В 1999 он перешёл в «Спартак» и тоже быстро вписался в команду.
В 2006 году по взаимной договорённости с руководством московского «Спартака», Ковтун перебирается во владикавказский «Спартак», где становится капитаном команды.
За сборную России сыграл 50 матчей, забил 2 гола и один автогол (в матче против сборной Исландии на 89-й минуте, который состоялся 14 октября 1998 года) (1994—2003). Участник матча сборная России — сборная ФИФА, посвящённого 100-летию российского футбола. Участник ЧЕ 96 (2 матча), ЧМ 02 (3 матча)
В 2010 году (по май) - второй тренер команды «Салют».
Умение выбирать позицию, плотно опекать соперника и хорошо играть головой всегда были сильными сторонами Ковтуна как защитника. Юрий часто получал желтые, и даже красные карточки. Но, как правило, нарушения правил были связаны с «фолом последней надежды». Его роль — последнего защитника — к этому обязывала. И нередко эти фолы несмотря на удаление игрока приносили команде Ковтуна нужные очки.
Ковтун является абсолютным рекордсменов чемпионатов России по количеству красных и желтых карточек — 10 и 97 соответственно. Всего за карьеру в различных турнирах Ковтун удалялся с поля 14 раз и получил 141 предупреждение.