Родился и вырос в Таганроге. Юрия заметил известный футболист Владимир Кутушев. В 1950 году его пригласили в таганрогский «Авангард», а через несколько матчей забрали в «Торпедо». Для прохождения армейской службы Шикунова забрали в ростовский СКА, в котором он провёл 9 сезонов и завершил карьеру в 1968 году в «Ростсельмаше» из-за многочисленных травм коленей.
В 1964 году был в «серебряном» составе сборной СССР на чемпионате Европы, но на поле не выходил.
4 года был тренером в Германии, в 1983—1984 — начальником СКА. Затем тренировал команды глухонемых футболистов — сборную России и ростовских игроков. В 1991—1995 работал тренером «Ростсельмаша», в 1997 — главным тренером «Шахтёра» Шахты.
Сын Александр также играл за СКА и «Ростсельмаш», работал функционером в нескольких командах, в том числе в московском «Спартаке» в 2000—2004 годах.