Окончил юридический факультет Ленинградского государственного университета (1952—1957) и аспирантуру Саратовского юридического института.
Защитил в 1963 году кандидатскую диссертацию по теме «Обязательства, возникающие вследствие причинения вреда имуществу» и в 1971 году в Харьковском юридическом институте — докторскую диссертацию по теме «Правовые вопросы хозрасчета промышленного предприятия».
Работал стажёром, народным судьей Хабезского района Карачаево-Черкесской области, был ассистентом, старшим преподавателем, доцентом, профессором, заведующим кафедрой гражданского права (1968) Саратовского юридического института.
Профессором и заведующим кафедрой в Саратове проработал свыше двадцати лет, пока 26 марта 1989 года не был избран народным депутатом СССР.
Работал председателем Комитета Верховного Совета СССР по законодательству, Министром юстиции Российской Федерации и членом Совета безопасности России, был депутатом (с декабря 1993 г.) Государственной Думы первого созыва.
Был председателем Конгресса кабардинского народа (с 1992 г.), президентом Международной черкесской ассоциации (в 1990—1993 гг. и в 1996 г.).
Ректор, а затем заместитель председателя Совета Исследовательского центра частного права при Президенте РФ.
С конца 1996 года стал ректором Российской школы частного права.
Ю. Х. Калмыков умер в начале 1997 г. и был похоронен 16 января 1997 г. в родном селе Абазакт (Карачаево-Черкесская Республика).
Участвовал, в частности, в разработке проектов законов «О конституционном надзоре в СССР» (1989), «О всенародном голосовании (референдуме) в СССР» (1990), Основ гражданского законодательства Союза ССР и республик (1991), Гражданского кодекса РФ.
Автор десяти монографий и около двухсот научных статей по праву собственности, субъектам гражданского права, теории гражданских правоотношений, договорным и внедоговорным обязательствам, жилищному, семейному, наследственному праву.
В 1991 и 1995 годах под его редакцией в Саратове вышел двухтомный учебник по гражданскому праву.