Родился в 1934 году в посёлке Синявино Мгинского района Ленинградской области. Начал играть в 1948 году в Ленинграде в футбольной школе гороно.
В «Зените» (Ленинград) — 1954, 1957—58 (по май), «Адмиралтейце» (Ленинград) — 1958 (с июня) — 61, «Динамо» (Ленинград) — 1962—64.
В чемпионатах СССР 153 матча, 9 голов («Адмиралтеец» — 70, 5; «Динамо» — 68, 3; «Зенит» — 15, 1).
Капитан «Адмиралтейца» и «Динамо». Физически сильный, трудолюбивый, смелый в единоборствах футболист.
Во 2-й сборной СССР — 1960.
Главный тренер (1978—82, 1991—92, по март) и спортивный директор «Зенита» (Ленинград) — с 1995, главный тренер «Динамо» (Киев) — 1983, ЦСКА — 1984—87. Тренер сборной СССР — 1974—76 (по июль), 1983, 1986 (с мая) — 90 (по июнь). Главный тренер сборной Ирака — 1990 (июль—октябрь), «Шарджа» (ОАЭ) — 1992 (с мая), тренер сборной и главный тренер олимпийской сборной Кувейта — 1994. Тренер школы «Зенита» — 1965, старший преподаватель и доцент кафедры футбола ГДОИФКа им. П. Ф. Лесгафта — 1970—73, гостренер Спорткомитета СССР по Ленинграду — 1976 (с августа)—77. Под руководством Морозова «Зенит» (Ленинград) стал 3-м призёром чемпионата СССР 1980 года (впервые в своей истории).
В 1986 ведомый им ЦСКА выиграл турнир первой лиги и вышел в высшую. При участии Морозова сборная СССР была 2-м призёром ЧЕ-88, 3-м призёром ОИ-76, выступала на ЧМ-86 и ЧМ-90.
В командах Морозова впервые заявили о себе Владимир Клементьев, Николай Ларионов, Михаил Бирюков, Юрий Желудков, Юрий Герасимов, Алексей Степанов, Валерий Брошин, Владимир Долгополов, Андрей Аршавин, Александр Кержаков, Павел Яковенко, Олег Кузнецов, Дмитрий Кузнецов, Андрей Мох, Андрей Афанасьев, Владимир Татарчук, Сергей Колотовкин, Игорь Корнеев, Вячеслав Малафеев, Владимир Быстров, Игорь Денисов.
Многолетний соратник и последователь Валерия Лобановского. Учитель Павла Садырина. Один из лучших специалистов в советском футболе по организации учебно-тренировочного процесса, использованию достижений спортивной науки в подготовке футболистов. Жёсткий и требовательный, умел подобрать в команду и довести до высоких кондиций молодых футболистов, но решение больших турнирных задач ему не всегда удавалось.
Ушёл из жизни 15 февраля 2005 года. Похоронен на Сестрорецком кладбище.
Болельщиками «Зенита» Ю. А. Морозову за тренерские заслуги были даны уважительные прозвища Дед и Отец всех наших побед (ОВНП).