Юрий Александров начал свою профессиональную карьеру в 2005 году в родной череповецкой «Северстали» после того, как несколько сезонов отыграл за её фарм-клуб. Несмотря на возраст, Юрий быстро зарекомендовал себя как одного из основных защитников череповецкого клуба, отличаясь, в первую очередь, отличным катанием и силовой борьбой. в 2006 году на драфте НХЛ он был выбран во 2 раунде под общим 37 номером клубом «Бостон Брюинз». За пять сезонов, проведённых в родном клубе, Александров в 224 матчах набрал 41 (16+25) очко.
29 мая 2010 года Юрий подписал двухлетний контракт с «Бостоном» стоимостью в $1,5 млн. Так как контракт являлся двухсторонним, Александров начал сезон 2010/11 в составе клуба АХЛ «Провиденс Брюинз». 12 апреля 2011 года Юрий был впервые вызван в состав «мишек» для подготовки к матчам плей-офф, однако, в НХЛ он так и не сыграл, проведя 66 матчей, и набрав 19 (6+13) очков в составе «Провиденс».
23 августа 2011 года Дисциплинарный комитет КХЛ присвоил Александрову статус неограниченно свободного агента, что вызвало большое возмущение со стороны «Северстали», которая обладала правами на игрока. Тем не менее, 26 августа Юрий заключил двухлетнее соглашение с петербургским СКА. Впоследствии, после модификации статусов «права» и «конфликт», все права на Александрова окончательно перешли к армейскому клубу, а «Северсталь» взамен получила денежную компенсацию.
Тем не менее, в составе СКА Юрий провёл лишь 14 матчей, в которых он набрал 2 (1+1) очка, после чего был обменян в омский «Авангарда» на Андрея Первышина.
В составе сборной России Юрий Александров принимал участие в юниорском чемпионате мира 2006 года, на котором россияне заняли лишь 5 место, а сам Юрий набрал 3 (1+2) очка в 6 проведённых матчах. Также Александров выступал на молодёжных чемпионатах мира 2007 и 2008 годов, на которых он сначала стал серебряным, а затем и бронзовым призёром призёром, в 13 матчах набрав 1 (1+0) очко.