Юрис Хартманис родился в семье генерала Латвийской армии Мартиньша Хартманиса. В 1940 году его отца арестовали и он умер в тюрме. В конце Второй мировой войны вдова Мартиньша Хартманиса бежала с детьми за границу, боясь преследования со стороны Советского правительства. Семья поселилась в Германии, где Юрис Хартманис получил диплом по физике в Марбургском университете. Затем он переехал в США и получил в Канзасском университете титул мастера наук по прикладной математике (1951), и доктора философии по математике в Калифорнийском технологическом институте под руководством Роберта Дилворта (англ. Robert Palmer Dilworth) (1955).
Хартманис преподавал в Университете штата Огайо, а также в Корнелльском университете, пока не устроился в исследовательскую лабораторию General Electric в 1958 году. В 1965 году он вернулся в Корнелльский университет, где стал профессором, одним из основателей и первым деканом факультета информатики (один из старейших факультетов информатики в мире).
Юрис Хартманис состоит в Ассоциации вычислительной техники и Национальной академии технологий (англ. National Academy of Engineering). Вместе с Ричардом Стирнсом был награждён премией Тьюринга за труд «On the computational complexity of algorithms», в котором было представлено множество классов сложности DTIME и доказана теорема об иерархии по времени.