Юргис Пучинский начинал свой путь в большой футбол с занятий в даугавпилсской детско-юношеской спортшколе, затем выступал за команду «Динабург», в которой и провёл большую часть игровой карьеры. В 2002 перешёл в «Металлург» из города Лиепая. А в следующем сезоне играл за бессменных чемпионов Латвии рижский «Сконто». Однако во втором круге вернулся в родной «Динабург». 25 ноября 2003, после того как в стыковых матчах сборная Латвии обыграла турок. Следующий сезон он провёл уже во владивостокском клубе «Луч-Энергия», который выступал в Первом дивизионе России, но не проведя игр, был выставлен на трансфер. После «Луча-Энергии» Юргис вернулся в «Динабург», где был играющим тренером. В 2008 году играл в «Транзите».
С 2001 по 2004 годы выступал в национальной сборной Латвии. В 2004 году был в заявке на чемпионат Европы, однако на поле так и не вышел. Всего же за сборную провёл 13 матчей, мячей так и не забив.