Родился 6 марта 1916 года в хуторе Генераловский ныне Котельниковского района Волгоградской области. Ещё мальчишкой работал в колхозе подпасков, затем конюхом.
В 1930 году по комсомольской путёвке был направлен на учёбу в Сталинград, где в 1934 году окончил фабрично-заводское училище при Сталинградском тракторном заводе по специальности «слесарь». Был направлен на Сталинградскую ГРЭС, где освоил специальность электросварщика.
В 1939 году был призван в Красную Армию. Проходил службу на Дальнем Востоке, окончил школу младших командиров, был командиром миномётного расчёта. После начала Великой Отечественной войны подавал заявления о направлении на фронт, но в 1943 году был демобилизован и направлен на строительство военно-морской базы в Петропавловске-Камчатском. Там Алексей Улесов освоил очередную профессию — водолаза. Работал водолазом-электросварщиком, варил броню на кораблях и подводных лодках, строил портовые сооружения.
В 1948 году вернулся на родину. на строительство Цимлянской ГЭС. За время работы на стройке Улесов перевыполнял норму в 7-9 раз, в общей сложности наложил 58 километров швов, одновременно занимался подготовкой молодых сварщиков. В мае 1952 года как одному из самых знаменитых участников строительства именно Улесову было поручено сварить последний шов на стройке.
После окончания работ отправился в Ставрополь (ныне Тольятти), где начиналось строительство Волжской ГЭС им. В. И. Ленина. Здесь он, работая в «Куйбышевгидрострое», трудился до 1958 года, работал на строительстве водосброса, затем после начала работ в котловане возглавил новую бригаду сварщиков. Первым в стране освоил новый способ сварки, разработанный на Московском опытно-сварочном заводе — ванный (микрометаллургический процесс в условиях открытой стройплощадки, осуществляемый в бронзовых ванночках для скрепления арматуры несущих конструкций непосредственно при монтаже здания с помощью простого сварочного трансформатора). Эта технология в несколько раз сокращала расход дополнительного металла, вдвое уменьшала расход электроэнергии и электродов. Только в бригаде Улесова экономия достигала 1 миллиона рублей в год. Улесов же и стал руководителем созданных на стройке всесоюзных курсов по изучению нового способа сварки, позднее названного «улесовским»
С 1962 по 1966 годы принимал участие в строительстве Асуанской плотины в ОАР, где тоже занимался подготовкой арабских сварщиков в учебном центре.
Позднее принимал участие в строительстве Волжского автозавода в Тольятти, Камского автозавода в Набережных Челнах .
В 1976 году вернулся в Волгодонск, где работал на строительстве Атоммаша), а затем Волгодонской ТЭЦ-2.
Жил в Волгодонске, где умер 14 октября 1997 года.
Член КПСС с 1947 года. Делегат XXI, XXII и XXV съездов КПСС.
Избирался депутатом Куйбышевского областного Совета и Тольяттинского городского Совета депутатов трудящихся. Был членом ЦК профсоюзов энергетиков.
В Волгодонске возглавлял городской совет по наставничеству.