Молодой шотландский вингер Вилли Морган перешёл в «Бернли» в 1961 году, начав с выступлений за молодёжный и резервный составы команды. Его дебют за основной состав «бордовых» состоялся 23 апреля 1963 года в матче против «Шеффилд Уэнсдей» на стадионе «Хиллсборо». Сам Морган забивал не очень много, но его стремительные кроссы на правом фланге часто приводили к взятию ворот соперников. Линия нападения «Бернли» в середине 60-х была одна из сильнейших в Англии, причём из всех игроков атаки «бордовых» именно Морган особое внимание. Появились слухи о том, что Морган уйдёт из клуба за большие деньги.
По слухам, талантливый шотландец собирался перейти в «Лидс Юнайтед», однако летом 1968 года Морган перешёл в «Манчестер Юнайтед» за рекордную сумму в 117 тыс. фунтов. За семь сезонов, проведённых в «Юнайтед», он сыграл 296 матчей и забил 34 мяча.
Сразу по завершении сезона 1974/75, по итогам которого «Юнайтед» вернулся в Первый дивизион, Морган, бывший тогда капитаном команды, перешёл в родной «Бернли». Причиной этого перехода считается публичная ссора Моргана с главным тренером «Юнайтед» Томми Дохерти, а также появление в составе «красных дьяволов» молодого талантливого вингера Стива Коппелла. Возвращение Моргана на «Терф Мур» оказалось неудачным. Уже в следующем году он перешёл в клуб Второго дивизиона «Болтон Уондерерс». Многие считали это завершением карьеры для 32-летнего футболиста, но Морган доказал обратное. Он помог «Болтону» выйти в Первый дивизион и играл за «рысаков» ещё четыре года. Моргану удавалось совмещать игру в английском клубе с летними выступлениями в клубах НАСЛ «Чикаго Стинг» и «Миннесота Кикс», в которых он выступал на правах аренды. Последний в своей карьере сезон 1980/81 Морган провёл в английском клубе «Блэкпул».
В 1967 году Морган сыграл свой первый матч за сборную Шотландии в матче против Северной Ирландии на «Виндзор Парк» в Белфасте. Он принял участие в чемпионате мира 1974 года, который проходил в Западной Германии. Всего за сборную Морган сыграл 21 матч, забив один гол в ворота сборной Дании в 1972 году.