Андрей Григорьевич Угодчиков родился в городе Ветлуга. В 1928 году его семья переезжает в город Горький (Нижний Новгород). В этом же году Андрей Григорьевич поступает в школу № 8 города Горького, и в 1938 году заканчивает его с отличием.
Сразу после окончания школы, он поступает на автотранспортный факультет Горьковского политехнического института.
2 июля 1941 года женится на Ирине Блохиной. 3 июля 1941 года должен был уехать на фронт в составе добровольческого комсомольского батальона.
С началом войны студенты то работали на заводах, то начинали учится, то рыли противотанковые рвы за Волгой, то рыли окопы, то делали ДЗОТЫ в районе Павлова, 8 месяцев 1942 года учились, и были досрочно выпущены из института в январе 1943 года. Окончило институт менее 30 % набора, так как 80 % оказались на фронте. В 1943 году Андрей Григорьевич закончил институт с отличием. Специальность — инженер-механик.
В период с 1943 по 1946 год, Угодчиков работал на заводах Министерства вооружения СССР. Затем поступает в аспирантуру на специальность «Сопротивление материалов» при Горьковском институте инженеров водного транспорта. В 1950 году Угодчиков защищает кандидатскую диссертацию, а в 1957 году успешно защищает докторскую диссертацию. В 1960 году Андрей Григорьевич Угодчиков становится профессором.
До 1967 года Андрей Григорьевич преподавал в Горьковском инженерно-строительном институте — заведовал кафедрами строительной механики (1958 - 1966), сопротивления материалов и теории упругости (1966 - 1967) , а с 1967 года переходит в Горьковский государственный университет (Нижегородский Государственный Университет (ННГУ)).
В 1969 году он становится ректором ГГУ, и до 1988 года осуществляет руководство университетом. Затем Андрей Григорьевич организует кафедру «Теории упругости и пластичности» и становится профессором.
В 2003 году Угодчикову Андрею Григорьевичу было присвоено звание «Почётный гражданин Нижегородской области». Трудовая и научная деятельность Андрея Григорьевича Угодчикова отмечена четырьмя орденами и шестью медалями СССР и Российской Федерации. Андрей Григорьевич опубликовал более 160 научных статей и подготовил 15 докторов и 70 кандидатов наук.
Скончался 23 октября 2007 года. Похоронен на Бугровском кладбище Нижнего Новгорода.