Родился в 1918 году в селе Верхняя Гнилуша ныне Лозовое Верхнемамонского района Воронежской области в крестьянской семье. Русский. Окончив в 1932 году 7 классов, работал в колхозе, затем — секретарем сельского Совета.
В Красной армии с августа 1939 года. Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Член ВКП(б) с 1943 года.
Командир танковой роты 226-го отдельного танкового полка (23-я армия, Ленинградский фронт) старший лейтенант Тимофей Авдеев особо отличился в первую неделю июля 1944 года в бою на южном берегу реки Вуокса.
6 июля 1944 года на Карельском перешейке машина командира танковой роты старшего лейтенанта Авдеева оказалась перед практически непреодолимым препятствием — сильно укреплённой высотой с очень крутыми склонами. Наступавшая следом за танками пехота залегла. Командир роты Авдеев решил штурмовать, казалось, неприступную высоту. И взял её! Экипаж танка огнём из орудия и пулемёта нанёс неприятелю значительный урон.
Выскочив из боевой машины, старший лейтенант Авдеев Т. П. водрузил на вершине Красный флаг. В этот момент отважный офицер-танкист был смертельно ранен. Падая, он успел крикнуть пехотинцам: «Друзья, вперёд!» Воины поднялись в атаку и очистили высоту от врагов.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм старшему лейтенанту Авдееву Тимофею Петровичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.