Родился в Орловской губернии в 1921 году в семье рабочего. По национальности белорус. В 1939 году призван в Красную Армию. В 1941 году окончил Ташкентскую объединенную военную школу имени В. И. Ленина.
С ноября 1942 года на фронтах Великой Отечественной. Воевал в Закавказском, Северо-Кавказском и 1-м Украинском фронтах. В 1943 году вступил в партию ВКП(б)/КПСС.
Особо отличился комбат Алексейчук в ходе боёв по освобождению Украинской ССР (Киевской и Житомирско-Бердичевской наступательных операций). Так, 26 декабря 1943 года во время боя за село Студеница (Коростышевский район Житомирской области Украины) он, будучи раненым, не покинул поле боя, а уже 31 декабря 1943 года стрелковый батальон под командованием Т. Д. Алексейчука прорывает оборону гитлеровцев и первым входит в город Житомир, уничтожив при этом десять вражеских танков и до трёхсот солдат и офицеров противника.
По окончании войны Алексейчук продолжил службу в вооружённых силах СССР. Выпускник Военной академии имени М. В. Фрунзе 1947 года. С 1976 года полковник Т. Д. Алексейчук в отставке. Живёт в городе Москве. До ухода на пенсию преподавал в Московском экономико-статистическом институте.