После нескольких лет, проведенных в Удинезе, Ювентусе и Палермо, в 1962 он переходит в Интернационале, который становится для него домом вплоть до завершения карьеры. За Нерадзурри Бурньич провел 467 игр, забил 6 мячей. Его агрессивная, силовая игра как нельзя кстати вписалась в систему катеначчо, введенную главным тренером Эленио Эррерой.
Вместе с Интером футболист пять раз выигрывал скудетто, дважды — Лигу Чемпионов.
Вместе с национальной сборной Италии Тарчизио Бурньич выиграл первый и последний Кубок Европы 1968, а также участвовал в трех подряд (1966, 1970, 1974) чемпионатах мира. Всего же в небесно-голубой футболке он выходил 68 раз.
По окончании карьеры игрока работал тренером в «Болонье», «Ливорно», «Фодже», «Кремонезе», «Дженоа», «Виченце».
Я сказал себе перед игрой: он сделан из кожи и костей, как всякий из нас, — но я ошибался. (Бурньич о Пеле.)