Родился 1 марта 1914 года в Тифлисской губернии (ныне Грузия) в селе Кавтисхеви.Получил начальное образование, работал на авторемонтном зодеде в города Тбилиси.
В Советской Армии с 1941 года. В действующей армии с августа 1942 года гвардии сержант. Сурен Артемович в боях за Днепр был командиром отделения противотанковых ружей 109-го гвардейского отдельного истребительного противотанкового дивизиона 110-й гвардейской стрелковой дивизии (37-я армия, Степной фронт). Отличился в боях по удержанию плацдарма на правом берегу Днепра южнее города Кременчуг в октябре 1943 года. Так, 14 октября, когда противник 6-ю танками прорвал оборону стрелкового подразделений в районе высоты с отметкой 177,1 °C. А. Асламазян, из единственно уцелевшего противотанкового ружья лично подбил 4 танка. А когда к его окопу стали подползать гитлеровские автоматчики, он, несмотря на полученное ранение, продолжал отражать вражескую атаку до подхода подкрепления
22 февраля 1944 года за мужество, отвагу и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками, гвардии старшему сержанту Сурену Артемовичу Асламазишвили присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (2502).
После войны был демобилизован, жил в родном селе.Умер в 1970 году.