Родился в 1910 году в крестьянской семье. По национальности белорус. Получил начальное образование. В 1943 году призван в ряды Красной Армии.
На фронтах Великой Отечественной войны с марта 1943 года. Разведчик стрелкового полка красноармеец Алешкевич неоднократно участвовал в войсковых разведывательных операциях. 13 марта 1944 года отличился при форсировании реки Южный Буг в районе села Ладыжин (ныне город в Винницкой области). В составе разведгруппы Алешкевич в числе первых переправился через реку и вступил в бой с крупными силами противника за расширение плацдарма, чем содействовал успешной переправе подразделений полка.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 сентября 1944 года
красноармейцу Алешкевичу Степану Филимоновичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно).
Погиб 4 мая 1944 года в тылу врага после выполнения операции по взрыву моста на реке Молдова в Румынии. Похоронен в населённом пункте Вама (Румыния).