Родился в семье Дафа Магометовича Тавасиева и Хангуассы Койбаевой в горном селении Фаснал (в Дигорском ущелье) Северной Осетии. По национальности осетин-дигорец. В семье было восемь детей: пять сыновей: Хаджират, Женя (Бездук), Хадзи, Ага (участник штурма Зимнего дворца), Сосланбек и три дочери.
Дафа ценил хорошее образование, поэтому его дети, и Сосланбек также, сначала посещали школу в Алагире, а потом подготовительный класс Владикавказской гимназии.
Сосланбек учился в гимназии, пока в 1914 году не был призван в армию в осетинский батальон.
В начавшейся после Октябрьской революции 1917 года гражданской войне выступил на стороне большевиков. Воевал против казачьих отрядов под командованием Андрея Шкуро и Лазаря Бичерахова (за это он был одним из первых в Осетии награжден орденом Боевого Красного Знамени.
Принял участие в выставке местных художников во Владикавказе, был направлен Марком Авсараговым в Ленинградский институт живописи, скульптуры и архитектуры на учебу. Окончил факультет скульптуры.
Большую часть своей жизни Сосланбек Тавасиев прожил в Москве. Мастерская находилась в доме на улице Верхняя Масловка.
Умер 10 апреля 1974 года в Москве.
Среди работ Тавасиева особенно выделяется памятник Салавату в Уфе (открыт 17 ноября 1967), ставший символом города и частью Герба Башкортостана. Другой известный монумент, автором которого является Тавасиев, — памятник Коста? Хетагурову перед Осетинским драматическим театром во Владикавказе.
Работы Сосланбека Тавасиева находятся в коллекциях Третьяковской галереи в Москве, Русского музея в Санкт-Петербурге.
Член Союза художников СССР, народный художник Северо-Осетинской АССР, заслуженный художник Башкирской АССР.
Лауреат Государственной премии СССР. Награжден орденом Боевого Красного Знамени, золотой медалью Академии художеств СССР.