До войны жил в Харькове, начал образование на филологическом факультете Харьковского университета. В 1941-1944 находился в эвакуации в Томске.
Окончил филологический факультет Московского университета в 1947 году. Защитил кандидатскую диссертацию о Ювенале (кандидат филологических наук) в 1950 году. Стал известен с 1953 года как переводчик античной литературы на русский язык; видный переводчик с немецкого языка.
В переводе Соломона Апта изданы для русского читателя трагедии Эсхила, роман «Иосиф и его братья» Томаса Манна, пьесы Бертольда Брехта, роман «Игра в бисер» Германа Гессе, роман «Человек без свойств» Роберта Музиля. Первый переводчик Франца Кафки на русский язык.
Автор книг о Томасе Манне: «Томас Манн» (биография, в серии ЖЗЛ), «Над страницами Томаса Манна» (книга очерков).
Член СП СССР (1959). Член общественного редсовета журнала «Иностранная литература».. Член редакционной коллегии серии книг "Библиотека античной литературы", выпущенной издательством "Художественная литература".
Жена — литературовед Екатерина Васильевна Старикова. Похоронен на Митинском кладбище после кремации.