Родился в оккупированном японцами Китае. Поступил в Высшую музыкальную школу Тохо Гакуэн в Токио на фортепианное отделение, однако вынужден был отказаться от карьеры пианиста после повреждения пальцев во премя игры в регби. Окончил Тохо Гакуэн как дирижёр (1959), в том же году был удостоен первой премии на Безансонском международном конкурсе молодых дирижёров. Далее учился в США у Шарля Мюнша в Бостонском симфоническом оркестре, у Герберта фон Караяна в Берлинском филармоническом оркестре. В 1961 стал вторым дирижёром у Леонарда Бернстайна в Нью-Йоркском филармоническом оркестре. В 1965—1970 — музыкальный директор Симфонического оркестра Торонто, в 1969—1976 — Симфонического оркестра Сан-Франциско. В 1973—2002 — музыкальный директор Бостонского симфонического оркестра. В 2002—2010 — музыкальный директор Венской государственной оперы.
В 2004 основал Международную музыкальную академию Швейцарии.
В 2011 году из-за болезни (рак пищевода) отменил все концерты до начала 2012 года.
Гигантский репертуар Одзавы включает музыку от Баха и Гайдна до Ксенакиса и Такэмицу. Среди его крупнейших работ — мировые премьеры «Полифонии Сан-Франциско» Дьёрдя Лигети (1975) и оперы Мессиана «Святой Франциск Ассизский» (1983).
Среди аудио- и видеозаписей — произведения Иоганнеса Брамса (все симфонии), Клода Дебюсси, Густава Малера, Феликса Мендельсона, Оливье Мессиана, Сергея Прокофьева (все симфонии), Мориса Равеля, Тору Такемицу, Петра Чайковского, Арнольда Шёнберга, Альфреда Шнитке, Рихарда Штрауса.