Сын музыканта. Учился в консерватории римской Академии Святой Цецилии. Более 30 лет играл в оркестре Итальянского радио и телевидения. В 1967 образовал трио с пианистом Гвидо Агости и виолончелистом Энрико Майнарди. Также выступал и записывал диски с Сальваторе Аккардо, Хайнцем Холлигером, оркестром I Musici.
Исполнял музыку композиторов барокко (Вивальди, Бах, Гендель, Моцарт, Алессандро Скарлатти, Боккерини, Меркаданте, Тартини), Бетховена, а также современных композиторов (Стравинский, Рене Лейбовиц, Анри Пуссёр, Пьер Булез, Бруно Мадерна, Бернд Алоис Циммерман, Луиджи Ноно, Лучано Берио, Валентин Сильвестров, Казуо Фукисима и др.), многие из которых посвящали ему свои сочинения.
Преподавал в Академии Святой Цецилии и в Академии Киджи в Сиене. Среди учеников Гаццеллони — Роберт Эйткен, американский джазовый музыкант Эрик Дольфи и др.
В родном городе проводят музыкальный фестиваль имени Гаццеллони.