Серхио Гойкочеа начал карьеру в клубе «Дефенсорес Унидос», откуда перешёл в «Ривер Плейт». В составе этого клуба футболист выступал 6 лет, выиграв чемпионат Аргентины, Межамериканский кубок, Межконтинентальный кубок и Кубок Либертадорес. Во время выступления за эту команду Серхио начал призываться в состав сборной Аргентины, с которой играл на Кубке Америки в 1987 году.
В 1988 году Гойкочеа перешёл в клуб «Мильонариос», где провёл 2 сезона. В 1990 году он поехал на свой первый чемпионат мира, там футболист заменил по ходу турнира травмировавшегося Нери Пумпидо. Серхио смог помочь своей команде выйти в финал, дважды победив в серии пенальти, сначала у Югославии, а затем у хозяйки турнира — Италии; в игре с итальянцами Гойкочеа отбил два послематчевых одиннадцатиметровых от Альдо Серены и Роберто Донадони.
После чемпионата мира Гойкочеа вернулся на родину, где провёл сезон в «Расинге», затем играл за французский «Брест 29» и парагвайские клубы. В 1991 и 1993 году со сборной Аргентины Серхио выигрывал Кубок Америки, а в 1992 году победил в Кубке конфедераций. Завершил он карьеру на родине в Аргентине.