«Один из наиболее техничных игроков советского футбола».
Закончил Высшую школу тренеров при ГЦОЛИФКе (1955) и факультет журналистики МГУ (1961).
Сергей не знал своего отца. В «Спартаке» ходили слухи, что им был Николай Петрович Старостин. На аналогичный вопрос Никиты Симоняна, он отвечал: «Старостин не признается, но по крайней мере я похож на него».
Сергей вырос в подмосковной Тарасовке, где еще до войны уже располагалась база московского «Спартака». Начал играть в 1941 году в Москве в юношеской команде «Спартак». Впервые появился в составе главной команды в августе 1942 года.
В 1943 году он присоединился к тренировкам футболистов ленинградского «Зенита», которые проходили в Подлипках. Основной состав «Зенита» оказался там вследствие эвакуации из блокадного города. Помимо тренировок, команда проводила товарищеские игры, принимала участие в Кубке Москвы.
В 1944 году вместе с командой достиг одного из наивысшего успехов клуба в советской футбольной истории — завоевал Кубок СССР. По пути к финалу был обыгран московский «Спартак», а Сальников стал со-автором победного гола. В финале ленинградцы одолели признанного фаворита — московский ЦДКА. На этот раз Сальников забил решающий мяч в ворота армейцев.
За «Зенит» Сергей отыграл и первый послевоенный сезон 1945 года. По итогам сезона стал лучшим бомбардиром команды, забив восемь мячей, что в итоге помогло ей занять почетное шестое место.
В 1946 году вернулся в «Спартак», где играл до 1949 года.
С 1950 года оказался в составе московского «Динамо». Поначалу спартаковцы считали это предательством. Но вскоре выяснилась истинная причина побега Сергея. Был арестован отчим (без веских на то оснований), и Сальников, полагая, что может облегчить участь отчима, перешел в «Динамо».
Как только отчим вышел на свободу, Сергей вернулся в «Спартак». За это его лишили звания «Заслуженный мастер спорта».
Завершил карьеру в 1960 году и уже со следующего года работал тренером в командах мастеров.
В 1961 возглавлял клуб Шахтёр (Шахты). В 1964 — главный тренер клуба Труд (Воронеж).
С декабря 1964 по ноябрь 1965, в августе-декабре 1966 — работал тренером в московском «Спартаке».
В январе-июне 1967 — главный тренер «Спартака». Затем 3 года снова был помощником главного тренера команды.
В 1971—1972 возглавлял клуб из Афганистана Маареф (Кабул).
В 1975 работал тренером в юношеской сборной СССР.
В 1976 снова вернулся в Афганистан, где помогал тренировать национальную сборную этой страны.
В 1978 вернулся в СССР, в течение года возглавлял клуб 2-й лиги Красная Пресня.
В 1979—1984 — телекомментатор спортивной редакции Гостелерадио СССР. Неоднократно выступал в спортивной печати с обозрениями и аналитическими статьями о тенденциях развития футбола.
До самой смерти принимал участие в ветеранских матчах.
9 мая 1984 года ветераны «Спартака» играли с более молодыми одноклубниками. В раздевалке по окончании матча, возбужденный выигрышем, он крикнул Амбарцумяну: «Старик, а ты видел, какой пас я отдал!». Наклонился расшнуровывать бутсы и упал. Реанимационные действия не помогли — спортсмен умер от сердечного приступа. Похоронен на Кунцевском кладбище.
Первый официальный матч за сборную СССР провёл 8 сентября 1954 года против Швеции, в котором сборная СССР победила со счётом 7:0. Два мяча были на счету Сальникова.
В составе сборной стал олимпийским чемпионом Игр 1956 года в Мельбурне.
Был участником чемпионата мира 1958 года. Там же провел и свой последний официальный матч за сборную СССР — 19 июня 1958 года против Швеции, в котором советская сборная СССР уступила со счётом 0:2.
Всего за сборную СССР сыграл 14 матчей и забил 9 голов.
За олимпийскую сборную СССР сыграл 6 матчей и забил 2 гола. Также в составе главной сборной СССР сыграл в 10 неофициальных матчах и забил 2 гола.
Дважды был женат. Первая жена, Нина, был легкоатлеткой. От брака с ней родились две дочери-близняшки. От второй, Валентины, снова две дочери-близняшки и сын Валентин.
Дочь от второго брака, Юлия (13.08.1964), была чемпионкой СССР по теннису. В настоящее время проживает в Греции, имеет четверых детей. Старший сын, Степан, учится в теннисной школе в Греции, чемпионом страны по теннису в возрастной группе до 12 лет. Средний сын, Сергей, также увлечен теннисом.