Начал кататься на коньках в возрасте четырех лет, когда бабушка купила ему коньки. Потом бабушка услышала объявление о наборе в группу фигурного катания и отвела туда внука.
Первой партнершей Сергея Славнова была Юлия Карбавская. Пара Карбовская—Славнов удачно выступала на международных соревнованиях. Они стали чемпионами России среди юниоров в 2001 году и серебряными призёрами чемпионата мира среди юниоров 2002 года.
В 2002 году у Славнова завязались романтические отношения с Юлией Обертас. Сразу после окончания сезона 2002/2003 в апреле Обертас и Славнов встали в пару, расставшись с прежними партнерами. А летом того же года пара перешла от Людмилы Великовой, у которой тренировались до тех пор, к Тамаре Николаевне Москвиной.
У Москвиной пара проработала 3 года, а после серии неудачных выступлений в сезоне 2005—2006 дуэт вернулся к Людмиле Великовой.
Пара объявила, что пропустит сезон 2007—2008 из-за травмы Юлии и перенесенной Сергеем операции по удалению аппендицита. В 2008 году выступали в шоу Евгения Плющенко.
Летом 2008 года заявили, что не появятся на соревнованиях начала сезона 2008/2009, но, возможно, выступят на чемпионате России 2009 года. Однако, этого так и не произошло. Очевидно, фигуристы завершили любительскую карьеру, хотя официально объявлено об этом пока не было.
Осенью 2008 года Сергей принял участие в телешоу канала РТР «Звёздный лёд», где выступал в паре с актрисой и певицей Анастасией Задорожной.
(с Обертас)
(с Карбовской)