Второй сын Романа Илларионовича Воронцова от брака с дочерью купца Марфой Ивановной Сурминой. Ему не было и года, когда умерла его мать. Воспитывался в доме дяди, канцлера графа М.И.Воронцова, и 16-ти лет совершил путешествие по России и Сибири. Из камер-пажей граф С. Р. Воронцов в 1762 году был пожалован в камер-юнкеры, но, по его желанию, тогда же был произведен в поручики Преображенского полка.
Переворот 28 июня 1762 года привёл его в "невыразимую ярость"; за верность Петру III он был подвергнут аресту. Служба в гвардии "опротивела" ему, и, по ходатайству дяди, он был назначен в 1764 году советником посольства в Вену, но скоро вышел в отставку, а когда началась первая турецкая война, снова вступил на службу и отличился в битвах при Ларге и Кагуле.
В 1783 году он был назначен полномочным министром в Венецию; в 1785 году в Лондон, где он пробыл до 1806 г. Когда возобновилась война между Россией и Турцией, в числе пособников последней оказалось английское правительство. Быстро освоившись с государственным устройством Англии, характерами её главнейших государственных деятелей и стремлениями английской нации, Воронцов с твёрдостью и достоинством достиг разоружения флота, снарядившегося в помощь Турции, и возобновил торговый трактат России с Великобританией (1793), по которому, если и предоставлялись некоторые льготы английским купцам в русских владениях, то исключительно благодаря заключённому незадолго перед тем оборонительному союзу России с Англией, ввиду событий Французской революции (январь 1793 г.). Теперь Воронцову пришлось вести переговоры о поддержке изгнанных Бурбонов и их партии, мечтавшей произвести во Франции контрреволюцию, между тем как в возможность этого не верило ни английское правительство, ни сам Семён Романович. Вмешательство в эти дела временщика Зубова, прямые, доходившие до резкости ответы посла не только в частных письмах, но и официальных бумагах — способствовали значительному охлаждению к нему императрицы. Воронцов расходился со своим правительством и по вопросам о вооружённом нейтралитете, который он находил невыгодным для России; о польских разделах, которые называл противными идее справедливости и возмущающими общественное мнение Западной Европы; о заселении британскими каторжниками Крыма, которое ему удалось отклонить; о замещении дипломатических должностей лицами иностранного происхождения, которых он называл «невеждами» и «проходимцами».
С воцарением Павла Воронцов был повышен в звание чрезвычайного и полномочного посла в Лондоне, а в 1797 г. возведён в графское достоинство Российской империи и одарён населёнными имениями в Финляндии. Не изменили к нему милостивого отношения Павла I ни самовольная задержка в Англии эскадры Макарова, ни отказ от предложенных ему званий вице-канцлера и канцлера. Только натянутые отношения к Англии и сближение с Францией привели Павла I к мысли о непригодности Семена Романовича в качестве посла в Англии; в 1800 г. ему была дана отставка, с дозволением остаться в Лондоне. В феврале следующего года имения Воронцова, «за недоплату казне денег лондонскими банкирами и за пребывание его в Англии», были объявлены конфискованными без всякого расследования и суда. В следующем же месяце императором Александром I распоряжение это было отменено и он вновь назначен послом в Лондоне. Через 5 лет усложнившиеся политические события, слабость здоровья и семейные невзгоды, особенно смерть брата Александра, заставили Семёна Романовича просить отставки, которая и была ему дана в 1806 г. С этого времени он почти безвыездно прожил в Лондоне до своей кончины, последовавшей в 1832 году, не переставая время от времени, в письмах к друзьям и родным, высказывать свои мнения по поводу внешних и внутренних событий России. Кроме «Записок о русском войске» и многочисленных писем, имеющих большое историческое значение, Семёном Романовичем составлена автобиография (1796—97) и «Записка о внутреннем управлении России» (1802).
В августе 1780 года граф Воронцов женился по взаимной склонности на дочери знаменитого адмирала А. Н. Сенявина и любимой фрейлины императрицы на Екатерине Алексеевне Сенявиной (1761—1784). Но вскоре молодая жена Воронцова умерла от чахотки, оставив ему двух малолетних детей.
Имел от англичанки Мэри Беклбек (ум. 1791) незаконнорожденного сына:
Воронцов с детьми
Екатерина Алексеевна, жена
Михаил
Екатерина