Родился в деревне Запрудная ныне Раменского района Московской области в семье крестьянина. Русский. Окончил Московский индустриально-педагогический техникум в 1936 году.
В Красной армии с 1 сентября 1937 года, поступил добровольно через Звенигородский военкомат Московской области. В 1939 году окончил Орловское бронетанковое училище. Однако вместо командной работы сразу был направлен на военно-политическую и был политруком роты с сентября 1939 по октябрь 1940 года. Направлен на учёбу в Военно-политическое училище, окончил его в 1941 году.
В боях Великой Отечественной войны с августа 1941 года — политрук танковой роты отдельного разведывательного батальона стрелковой дивизии в 7-й отдельной армии, действовавшей в Карелии. В январе 1942 года направлен на курсы переподготовки военкомов, по окончании которых в мае 1942 года направлен на Воронежский фронт. Там воевал в должностях комиссара танкового батальона, с октября 1942 года — командира отдельного танкового батальона, с декабря 1942 года — заместителя командира отдельного танкового полка.
В 1943 году окончил краткосрочные академические Курсы усовершенствования старшего офицерского состава. С июня 1943 года — заместитель командира танковой бригады на Воронежском фронте и 1-м Украинском фронте, с декабря 1944 года и до конца войны — исполняющий обязанности командира этой танковой бригады. Принял командование бригадой на себя непосредственно в бою, когда выбыл из строя её командир. Вообще в годы войны сражался с исключительной отвагой, несколько раз был ранен, награждён 6-ю боевыми орденами. Бригада под его командованием стала Краснознамённой.
После войны с июня 1945 по октябрь 1946 годов подполковник С. К. Куркоткин командовал танковым полком, затем учился в Военной академии бронетанковых и механизированных войск Советской Армии. В мае 1951 года окончил её и назначен заместителем командира танковой дивизии. С декабря 1952 года — командир танковой дивизии. Окончил Военную академию Генерального штаба в 1958 году.
С февраля 1959 года — командир армейского корпуса. С июня 1960 года — командующий армией. С августа 1966 года — первый заместитель Главнокомандующего Группы советских войск в Германии. С апреля 1968 по сентябрь 1971 года — командующий войсками Закавказского военного округа. С сентября 1971 года по июль 1972 года — Главнокомандующий Группой советских войск в Германии. В июле 1972 года назначен заместителем министра обороны СССР — начальником Тыла Вооружённых Сил СССР. С мая 1988 года до конца жизни — генеральный инспектор Группы генеральных инспекторов Министерства обороны СССР.
Член ВКП(б) с 1940 года, кандидат в члены ЦК КПСС с 1971 года, член ЦК КПСС с 1976 по 1989 гг. Депутат Верховного Совета СССР с 1970 по 1989 гг.
Жил и умер в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.