Происходил из древнего рода служилых дворян. Сын корабельного мастера Афанасия Пустошкина.
В 1799 году командовал отрядом судов в составе фрегата «Александр Невский» (со снятыми пушками), 32-пуш. фрегата «Иоанн Златоуст», бригантин «Алексей» и «Илларион», небольших судов «Майлет», «Благовещение», «Царь Константин», «Исидор», «Кичкасы» и трех транспортов совершил переход из Одессы в Средиземное море для усиления эскадры Ф. Ф. Ушакова. Затем совместно с отрядами Лагоца в Италии действовал против французов.
В 1816 году Семён Афанасьевич был награждён орденом Св. Георгия 4-й степени «за беспорочную выслугу 25 лет в офицерских чинах». В 1825-1826 годах Пустошкин председательствовал в особой Комиссии для приведения в порядок дел и книг по казначейской экспедиции, одновременно являясь членом Комитета для образования флотов и членом особой Комиссии по осмотру всех команд в Кронштадте. В 1829 году он был определен членом Комитета для составления расчетов по взысканиям за упущения казны по Кронштадтскому канатному заводу. В 1831 году был произведен в чин адмирала. В 1832 году Пустошкин был назначен членом Адмиралтейств-совета. В 1840 году Семён Афанасьевич был награжден орденом Белого орла.
Был директором Николаевского штурманского училища.
Умер 19 апреля 1846 года и был похоронен в церкви Волкова кладбища Петербурга.
Рассказывают, что 1786 году, во время плавания в Средиземном море в порту Тулон Пустошкин познакомился с артиллерийским поручиком Наполеоном Бонапартом. Будущий император Франции до того проникся к новому знакомому, что на прощание пожелал подарить ему две камышовые трости. Но, поскольку поручик Бонапарт не смог оплатить свой дар полностью, Пустошкин доплатил недостающую сумму. Эти трости Пустошкин хранил до самой своей кончины.