Отец — Сергей Гоцманов, известный футболист минского «Динамо» в 1980-х годах, серебряный призёр чемпионата Европы 1988 года. Мать, Ольга — бывший тренер сборной Белоруссии по гимнастике.
Когда Александру было 15 лет, его семья переехала в Миннесоту. 8 апреля 2005 года Гоцманов подписал контракт с клубом MLS «Колорадо Рапидс», в составе которого провёл одну игру. В начале июня 2006 он был отдан в аренду в клуб первого дивизиона USL «Миннесота Тандер», но в следующем месяце вернулся в «Колорадо». В сезоне-2007 подписал постоянный контракт с «Миннесотой».