Отец Сантьяго Эдуардо Мигель Солари работает техническим директором, а мать Алисиея Сусана Поджио — преподаватель физкультуры. У Сантьяго есть 3 брата: Мартин Мигель Солари, который раньше был футбольным игроком, Эстебан Андрес Солари — футболист и Дэвид Эдуардо Солари, — а также сестра Лиз Мария Солари — модель.
Свою карьеру Сантьяго начинает в клубе «Ньюэллс Олд Бойз» в качестве запасного игрока. В 1994 году, после окончания обучения, Сантьяго едет в Соединенные Штаты Америки для изучения английского языка. В 1995 году Солари переходит в «Ривер Плейт» (сумма сделки составила 500 тыс. $). В то же время игрок поступает в Национальный институт физического образования, где учится на преподавателя. 12 мая 1996 года Солари дебютирует в матче первого дивизиона, где «Ривер Плейт» побеждает «Депортиво» со счетом 2:0. 14 января 1999 года Солари подписывает контракт с испанским «Атлетико Мадрид» на 5 лет (сумма сделки составила 5 млн $). В июле 2000 года переходит в «Реал Мадрид» (сумма сделки составила 5 млн $). Дебют за «Реал Мадрид» состоялся 27 июля в товарищеском матче со швейцарским «Серветтом». В этом матче «Реал Мадрид» проиграл со счетом 3:4, но Солари удается забить один из голов. К «Интеру» Солари присоединился после пяти сезонов, проведенных в королевском клубе. В составе «сливочных» он успел выиграть два титула чемпиона Испании, Лигу чемпионов, Суперкубок Европы и межконтинентальный кубок.
1 сентября 2010 года Солари перешёл в уругвайский «Пеньяроль».