Родился в скромной семье в небольшом итальянском городке Перуджа. Руджеро — младший, пятый ребёнок в семье архивиста и секретаря госпиталя Перуджи Филиппо Одди и флорентийки Зелинды Пампаглини (итал. Zelinda Pampaglini). В 1880 году умирает его мать. В 1883-м он поступает в Университет Перуджи, где обучается медицине 4 года, затем ещё один год — в Болонье и ещё один год — во Флоренции. 2 июля 1889 года получает квалификацию врача и хирурга. В свои молодые годы он блестящий анатом и физиолог. В 1894 году, в возрасте 29 лет, назначен главой Института физиологии Университета Генуи (итал. ). В 1900 году освобождён от этой должности за употребление наркотиков и финансовые нарушения. Позже устроился в Бельгийскую колониальную службу и недолгое время работал врачом в Бельгийском Конго. У него, в том числе из-за употребления наркотиков, развивается психическая неуравновешенность. Умер Руджеро Одди в 1913 году в Тунисе. Место захоронения неизвестно.
В возрасте 23 лет, будучи ещё студентом Университета в Перудже, Одди изучил, измерил его запирающие характеристики и описал небольшой сфинктер — мышечный клапан, располагающийся в Фатеровом (Большом дуоденальном) сосочке на внутренней поверхности двенадцатиперстной кишки, управляющий поступлением жёлчи и панкреатического сока и препятствующий попаданию содержимого кишечника в жёлчные и панкреатические протоки. И хотя факт существования этого сфинктера был описан за 200 лет до Одди Фрэнсисом Глиссоном (1597—1677), студенческая работа Одди обессмертила его имя.
В честь Одди названы: