Бунзен родился в Гёттингене, четвёртым сыном профессора литературы Кристиана Бунзена (1770—1837). Первоначальное образование Бунзен получил в гимназиях — гёттингенской и гольцмюнденской, а в 1828 году поступил в университет своего родного города, где изучал физику, химию и геологию.
Завершив своё образование в Париже, Берлине и Вене, он защитил в 1833 году диссертацию по химии в Геттингенском университете, а в 1836 году занял кафедру химии в Кассельском политехническом институте, освободившуюся по уходу оттуда Вёлера. В Касселе он пробыл до 1838 года, пока не был приглашён в качестве экстраординарного профессора химии в Марбургский университет, где в 1841 году был избран ординарным профессором и директором химического института.
В 1846 году вместе с знаменитым геологом Вольфгангом Сарториусом посетил Исландию.
В 1851 году Бунзен переселился в Бреслау по приглашению университета и предпринял там постройку химической лаборатории. Но вскоре (в 1852 году) Бунзен покинул Бреслау и занял кафедру химии в Гейдельбергском университете. Здесь на своём 50-летнем докторском юбилее (17 октября 1861 г.) Бунзен получил чин тайного советника первого класса и только в 1889 г. передал кафедру Виктору Мейеру.
Наука обязана Бунзену весьма важными исследованиями: его имя занимает одно из самых почетных мест на страницах истории химии. Первые работы Бунзена касаются различных вопросов неорганической химии, но вскоре его внимание было привлечено арсеноорганическими соединениями; результатом этих исследований было, кроме прочего, получение какодила (арсендиметила), с таким восторгом встреченное сторонниками теории сложных радикалов. Работы с газообразными веществами привели Бунзена к открытию новых методов, совокупность которых создала нынешний анализ газов.
Но наиболее важное и замечательное открытие Бунзена, давшее для науки столько богатых результатов и сделанное им в сообществе с его другом Кирхгофом (в 1860 г.), составляет спектральный анализ, с помощью которого, как самим Бунзеном, так и другими химиками, было открыто немало новых редких элементов, встречающихся в природе лишь в очень малых количествах (рубидий, цезий и др.).
Вообще своими исследованиями в области органической, физической, аналитической, и минеральной химии Бунзен много содействовал развитию химических знаний и всюду умел предложить новые, оригинальные методы; его профессорская и педагогическая деятельность, охватывающая более половины столетия, была весьма плодотворна: у Бунзена в Гейдельберге учились точным приемам анализа и минеральной химии значительное большинство современных учителей химии не только из немцев, но из англичан и русских. Среди тех, кто учился и работал у Р. В. Бунзена, обретаясь в конце 1850-х—начале 1860-х в гейдельбергской русской колонии, были Д. И. Менделеев, К. А. Тимирязев, Д. А. Лачинов, А. Г. Столетов, Ф. Ф. Бейльштейн и многие другие выдающиеся естествоведы эпохи.
Кроме упомянутых работ в области химии, особенного внимания заслуживают: открытие рубидия и цезия и изучение этих редких элементов, исследование двойных цианистых солей, работы относительно химического сходства, определение атомного веса индия, анализы пороховых газов (совместно с Л. Н. Шишковым) и газов доменных печей, систематическое изложение реакций окрашивания в пламени бунзеновской горелки.
Человечество обязано Бунзену открытием противоядия (водной окиси железа) при отравлении мышьяком (мышьяковистой кислотой). Во время своей летней поездки в Исландию, в 1846 г., Бунзен произвел целый ряд геолого-химических исследований, весьма важных для понимания вулканических явлений. К области физики и физической химии относятся исследования относительных удельных весов, влияния давления на температуру затвердевания расплавленных веществ; исследования, иллюстрирующие справедливость закона Генри — Дальтона о зависимости растворимости газов от давления, работы относительно явлений горения газов и о сгущении сухой угольной кислоты на поверхности стекла, калориметрические исследования и др.; сюда же примыкают: получение электролитическим путем щелочных и щёлочноземельных металлов и фотохимические исследования (например, Взаимозаместимости закон); магнезиальный свет, нашедший себе применение в фотографии и для других целей, также открыт (в 1860 г.) Бунзеном, получившим впервые магний в больших количествах.
В химической и физической практике в большом ходу многие приборы, изобретенные Бунзеном и носящие его имя, напр. : Бунзеновская горелка, Бунзеновский водяной насос и регулятор, Бунзеновская батарея, Бунзеновский абсорбциометр и др.
Большинство работ Б. напечатано в специальных химических журналах (гл. обр. «Liebig’s Annalen der Chemie und Pharmacie» и «Poggendorff’s Annalen der Physik und Chemie»).
В отдельном издании имеются следующие сочинения:
Важнейшие работы, помещенные в Poggendorff’s Annalen:
Совместно с Л. Н. Шишковым:
Вместе с Роско (Roscoe):
С Кирхгофом:
В Liebig’s Annalen:
Вместе с Баром:
Этот далеко не полный список работ свидетельствует о разностороннем и необыкновенном даровании Бунзена, как химика-экспериментатора, и о тех важных заслугах, которыми ему обязана наука.