Роберт Стуруа родился 31 июля 1938 года в Тбилиси в семье грузинского художника Р. И. Стуруа.
Учился на режиссёрском факультете Тбилисского театрального института.
С 1962 года работает в Тбилисском театре имени Шота Руставели, ученик Михаила Ивановича Туманишвили. В 1979 году Роберт Робертович становится главным режиссёром этого театра, а с 1980 года — художественным руководителем.
Приказом министра культуры и защиты памятников Грузии от 9 августа 2011 года уволен от должности художественного руководителя театра имени Шота Руставели с 15 августа 2011 года. Официальная причина увольнения - ксенофобские высказывания Стуруа. "Мы не будем финансировать ксенофобию", заявил министр культуры Грузии Ника Руруа. В своем интервью Стуруа заявлял, что "Саакашвили не понимает, чего хочет грузинский народ, потому что он - армянин" и "я не хочу, чтобы Грузией управлял представитель другой национальности".
Большой театр
Общегражданское движение «Многонациональная Грузия» объявило бойкот Роберту Стуруа. Причиной бойкота стало интервью с Робертом Стуруа, опубликованное информационно-аналитическим агентством «Грузинформ» 16 мая 2011 года. В этом интервью, отвечая на вопрос журналиста, почему Саакашвили так не любит свой народ, Стуруа с сожалением заметил: «что поделаешь, он же армянин». Развивая эту тему дальше, режиссёр сетует, что Саакашвили не обращается с Грузией так, как в своё время Шушаник. И в беседе с журналистом констатирует, что Америка привела Саакашвили к власти для уничтожения Грузии. Журналист же добавляет, что "Саакашвили был приведён к власти армянским лобби Америки". Роберта Стуруа, является открытым армянофобом, который из-за своих антиармянских заявлений постоянно является объектом жесткой критики