Третий сын Джеймса Стопфорда, 2-ого графа Куртаун, и его жены Мэри (урожденной Повис). Произведён в лейтенанты в 1785. Повышен до капитана в возрасте 22 лет и участвовал в сражении Славного первого июня 1794, командуя фрегатом «Аквилон».
Достопочтенный Роберт Стопфорд был произведен в чин полковника морской пехоты 9 ноября 1805 года и получил Морскую золотую медаль за сражение при Сан-Доминго в 1806, в котором участвовал, командуя линейным кораблём «Спенсер». Принимал участие в экспедициях в Рио и Копенгаген 1806-1807, атаковал Рошфор в 1808, был главнокомандующим в сражении у мыса Доброй Надежды в 1808 и во время блокады Явы в 1811. После окончания наполеоновских войн, 2 января 1815 года достопочтенный Роберт Стопфорд был награжден орденом ордена Бани командорского креста. В 1830 произведён в контр-адмиралы.
В более чем семидесятилетнем возрасте командовал Средиземноморским флотом во время Сирийской войны против сил Мехмета-Али. В чине вице-адмирала, находясь на борту линейного корабля «Принцесса Шарлотта», а затем линейного корабля «Феникс», командовал объединенным британско-турецко-австрийским флотом во время бомбардировки Акры 3 ноября 1840. 16 ноября награждён русским орденом св. Георгия II кл.
В следующем году, в чине адмирала, возглавил Королевский военно-морской госпиталь в Гринвиче. Был женат на Мэри, дочери Роберта Фэншоу, с 1809. Их старший сын Роберт Фэншоу Стопфорд (1811-1891) также дослужился до чина адмирала, их второй сын Джеймс Джон Стопфорд (1817-1868) стал вице-адмиралом. Роберт Стопфорд скончался в июне 1847, в возрасте 79 лет. Супруга пережила его почти на двадцать лет и умерла в июне 1866.