Сын нотариуса и судьи, Робер Конте изучал право в Невшателе, Гейдельберге и Париже. С 1869 по 1874 год он работал в качестве юриста общей практики в Ла-Шо-де-Фоне. В 1876 году избран в кантональное правительство, где возглавлял сначала департамент полиции, затем с 1877 года департамент внутренних дел и наконец с 1884 года вновь созданный департамент земледелия и промышленности. Одновременно был главой правительства в 1880—1881, 1883—1884, 1885—1886, 1889—1890, 1893—1894, 1898—1899 годах.
На федеральном уровне Конте был членом Национального совета (с 1883) и в декабре 1899 года был избран в Федеральный совет (правительство Швейцарии). Как министр финансов он сыграл ключевую роль в создании Швейцарского национального банка в 1906—1907 годах.
После отставки в 1912 году Конте оставался политически активным. Во время Первой мировой войны он открыто сочувствовал противникам войны в Центральных державах и призывал к протесту против вторжения в Бельгию. Война укрепила его пацифистские убеждения и сделала его сторонником присоединения Швейцарии к Лиге Наций.