Рис учился в средней школе Бенджамина Бриттена в Лоусофте. По окончании школы был принят в труппу Национального молодежного театра. Театральный дебют Риса состоялся на сцене пакфилдского театра «Чайка», а сам он всегда стремился сделать карьеру в кино и на телевидении.
Будучи ассистентом директора в одной из постановок лондонского театра Сохо, Ричи был приглашен на роль в киноэпопею Роланда Эммериха «10 000 лет до н. э.». Это была его первая серьёзная роль, сделавшая его известным на весь мир. Далее он снялся в фильме «Милые кости», в котором Рис играет роль Рея Синга, возлюбленного главной героини Сьюзи Сэлмон. После этого Рис сыграл Би в фантастическом боевике режиссёра Майка Ньюэлла «Принц Персии: Пески времени».