Ричард Карп родился в 1935 году в семье учителя математики и директора средней школы Эйбрахама Луиса Карпа (Abraham Louis Karp) и его жены Розы (Роуз) Карп в Бостоне, штат Массачусетс. С ним росли двое младших братьев Роберт и Дэвид, и младшая сестра Кэролин. Окончив школу, Ричард поступил в Гарвардский университет, где получил титулы бакалавра (1955), магистра наук (1956) и наконец доктора философии по прикладной математике в 1959 году.
После учёбы, Ричард Карп работал 9 лет в исследовательском центре IBM (Thomas J. Watson Research Center). В 1968 году он получил профессуру по информатике, математике и исследованию операций при калифорнийском университете Беркли, где и работет по сей день, не учитывая четырёхлетнего перерыва на работу в университете Вашингтона.
В 1971 году Карп вместе с Джэком Эдмондсом разработал алгоритм для нахождения максимального потока в транспортной сети, названный в их честь. Год спустя, Карп опубликовал свой труд «Reducibility Among Combinatorial Problems», в котором он доказал NP-полноту для 21 задачи.
В 1987 году, вместе с Майклом Рабином, Карп разработал алгоритм поиска подстроки, названный в их честь.
В конце февраля 2009 года Карп занимал 35 место в списке самых цитируемых авторов в проекте CiteSeer.