Ричард Энтони родился в Лидсе, Англия, в семье Ричарда Маркхема. Свою фамилию он изменил на Солсбери для предполагаемого финансового улучшения своих исследований.
Солсбери выступал против системы классификации Карла Линнея. Правда, Солсбери был известен тем, что многие ботаники избегали его. Однако он был щепетильным ботаником, внесшим весомый вклад в науку.